2016年高考数学真题, 圆锥曲线综合题, 正确率不到10%

2016年高考数学真题, 圆锥曲线综合题, 正确率不到10%

2016年高考数学真题, 圆锥曲线综合题, 正确率不到10%

大家好!本文和大家分享一道2016年高考数学真题。这道题2016年高考全国1卷理科数学的第20题,也就是必做题中的倒数第二题。这道题考查的是椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及对角线互相垂直的四边形面积的求解。据说这道题的正确率不到10%,下面一起看一下这道题。

先看第一小问:求点的轨迹方程。

将圆的方程x^2+y^2+2x-15=0化为标准方程,得到(x+1)^2+y^2=16,所以圆心A的坐标为(-1,0),圆的半径为4。

需要注意的是,由于直线l与x轴不重合,所以y≠0。

再看第二小问:求四边形面积的取值范围。

接下来计算直线l斜率存在的情况。

此时,设直线l的方程为y=k(x-1),联立直线l与椭圆的方程,消去y,整理后可得:(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0。接下来用弦长公式即可求出|MN|的长,即|MN|=12(1+k^2)/(3+4k^2)。

接着,再求|PQ|的长度。当然,求|PQ|的长度也可以用弦长公式,但是在圆中求弦长最简单的方法是几何法。

具体做法就是过圆心作弦的垂线,再连接圆心与弦的一个端点,这样就构成了一个直角三角形。在构造的直角三角形中,由勾股定理就可以求出弦长的一半,当然也就求出了弦长。

这其中的关键就是求出圆心到弦所在直线的距离,而这个距离可以用点到直线的距离公式求解。

综上即可求出S的取值范围。

这道圆锥曲线综合题的第一小问难度不大,考查了椭圆的第一定义,第二小问的难度就大得多了,能做出来的同学屈指可数。你能做出来吗?

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